4.1. Berechnung der Schwingungsenergie

Für die Bewertung der einzelnen Schwingungsverläufe in Bezug auf den Energiebedarf, ist es erforderlich, die aufzubringende Energie für jede Kurvenform zu bestimmen. Da die Kurvenformen aus den Versuchen nur in analoger Form vorlagen, wurden diese zunächst digitalisiert. In einem weiteren Schritt mußten nun die Aplituden normiert werden, damit die Schwingungen untereinander verglichen werden können. Hierfür wird ein Faktor a für die Weg-Achse so gewählt, bis die Amplitude (Hub) einen Wert von 21,26 erreicht. Um nun die Arbeit mit der Formel

Ø m ø

W =?(m • a

• ds)

Œkg • 2 • mœº s ß

für eine Schwingungsperiode berechnen zu können, ist es erforderlich, in jedem Punkt der Schwingung, die Werte für Beschleunigung a und Wegänderung ds berechnen zu können. Dafür muss die Funktion der Kurve mit der Fourieanalyse bestimmt werden.

4.2. Fourieanalyse

Die Fourier-Transformation ist eine Frequenz-Transformation, die eine Funktion in ihre Sinus- und Kosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) mit verschiedenen Frequenzen zerlegt. Entsprechend dieser physikalisch inspirierten Betrachtungweise wird die Transformation einer Funktion in den Frequenzbereich auch als Fourieranalyse

bezeichnet, die Rücktransformation als Fouriersynthese:

Sie ist nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier benannt.

Alternativ kann man als Basisfunktion auch die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument (also exp(iwt) oder eiwt) verwenden, da in diesem Fall der Realteil der Exponentialfunktion dem Kosinus und der Imaginärteil dem Sinus entspricht. Diese Form nennt man auch komplexe Fourier-Transformation, da die transformierte Funktion komplexe Werte annimmt und die zu transformierende Funktion komplexe Werte annehmen kann. Je nach Definitionsmenge A der zu transformierenden Funktion und Definitionsmenge B der transformierten Funktion unterscheidet man:

-Fourier-Reihe (A: Intervall - meist -p bis +p; B: Ganze Zahlen) -Diskrete Fourier-Transformation (A: Teilbereich der natürlichen Zahlen - meist 0...N-1; B: wie A) -Kontinuierliche Fourier-Transformation (A: Reelle Zahlen; B: wie A).

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Dabei müssen die Basisfunktionen geeignet gewählt werden, so dass die Zerlegung eindeutig und umkehrbar ist: sie müssen ein vollständiges Orthonormalsystem im betrachteten Funktionenraum bilden. Die Fouriertransformation wird vor allem eingesetzt, um mit Differentialgleichungen einfacher zu rechnen. Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird oft die Fast Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration. Diese Transformation kam für die verwendeten Kurvenformen zum Einsatz und wird im folgendem näher beschrieben.

4.3. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Bei der schnellen Fourier-Transformation (FFT) handelt es sich um einen Algorithmus zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation (DFT), der durch Anwendung des Divide and Conquer-Paradigmas eine Zeitkomplexität von

erreicht. Im folgenden soll der iterative FFT-Algorithmus und seine Datenflußstruktur hergeleitet werden, da diese auch die Grundlage paralleler Implementierungen bilden.

Sei

und

.

Die Berechnung der Komponenten yi wird getrennt für gerade und ungerade Indizes j betrachtet. Ziel ist jeweils, die Berechnung der Komponenten yi auf die Berechnung einer DFT der halben Länge n zurückzuführen.

Um die beiden Summanden zusammenzufassen betrachten wir

Wir erhalten also

Gl. 1

Analog erhalten wir für ungerade Indizes von y

Zum Zusammenfassen der Summanden benötigen wir noch, daß gilt

Gl. 2

.

Die Gleichungen 1 und 2 zeigen, dass wir

durch die DFT der Länge n von

und

durch die DFT von

erhalten. Für n>1 läßt sich dieses Verfahren auf die beiden DFTs der Länge n getrennt rekursiv anwenden. Dieses Vorgehen führt zu einem Butterfly-Graph der Dimension ld N zur Basis 2 als Datenflußgraph der FFT (Abb. 26).

Auf die Datenflußstruktur haben die Gewichte wNj-n keine Auswirkung, so daß es im Folgenden ausreicht nur die beiden Typen

zu unterscheiden.

Durch das in jedem Schritt vorgenommene Anordnen der Ergebnisse zu geraden Indizes in der oberen Hälfte des betrachteten Ausschnitts, befindet sich das Ergebnis yi der DFT in der letzten Spalte in der durch die gespiegelte ld N-stellige Dualdarstellung von j bestimmten Zeile (Bitreversal).